Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与X轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点，抛物线交y轴于C

C（0,3），D为抛物线顶点。直线y=x-1交抛物线于M、N。过MN上一点P作Y轴平行线交抛物线于Q.
点Q在何处时，PQ最长，最长为多少。

Answer 1

解：（1）将点A（-1,0），B（3,0），C（0,3）代入y=ax²+bx+c，得
{a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
解得：{a=-1
b=2
c=3
∴y=-x²+2x+3
此抛物线的解析式是y=-x²+2x+3
∵y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
∴抛物线的顶点D的坐标是（1，4）.
（2）∵点P在直线y=x-1上，点Q在抛物线y=-x²+2x+3上，
PQ＝（-x²+2x+3）-(x-1)
＝-x²+x+4
＝-(x-½)²+(17/4)
∴当x=½时，把x=½代入y=x-1，得y=½-1=-½，
此时点P的坐标是（½，-½），
PQ最长，最长是17/4.