Question

考研数学三，一元函数微分学的问题

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Answer 1

连续性：lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]=0,函数是连续的。

两边求导：将x0，f(x0)看成常数：
f'(x)=-1/(2+x0)+2a(x-x0)
显然，x0取不同的数值，f'(x)不同，函数不可微。
应该A正确。

不论x0取何值，f(x)应该有一个确定的、唯一的值。
x0取-1时：
f(x)=1-(x+1)+a(x+1)^2
f(x0)=x0+a(x0+1)^2
f(x)-f(x0)=x-x0+a[(x+1)^2-(x0+1)^2]
=(x-x0)+a(x-x0)(x+x0+2)
=(x-x0)(1+ax+ax0+2a)=(x0-x)/(2+x0)+a(x-x0)^2=(x0-x)[1/(2+x0)+a(x0-x)]
1+ax+ax0+2a=1/(2+x0)+ax0-ax
1+2ax+2a=1/(2+x0)
2+x0+4ax+2axx0+4a+2ax0=1
1+x0+4ax+2axx0+4a+2ax0=0
(1+x0+4a+2ax0)+(4a+2ax0)x=0
1+x0+4a+2ax0=0
4a+2ax0=0
a=0
1+x0=0,x0=-1
a≠0
2a=x0
a=x0/2
1+x0+4a+2ax0=1+x0+2x0+x0^2=x0+(1+x0)^2,不是恒等于0的值。

两边同时乘以×(-1)
f(x0)-f(x)=-(x0-x)/(2+x0)-a(x0-x)^2
两边同时除以(x0-x)
[f(x0)-f(x)]/(x0-x)=-1/(2+x0)-a(x0-x)
取极限x0->x,根据导数定义：
f'(x)=-1/(2+x)
积分：f(x)=-ln(2+x)+C=ln[e^C/(2+x)]
C为积分常数
f(-1)=ln[e^C/(2-1)]=C=1
f(x)=-ln(2+x)+C=ln[e/(2+x)]
但是f(x)-f(x0)=1-ln(2+x)-[1-ln(2+x0)]=ln[(2+x0)/(2+x)],是一个超越函数，不可能等于一个多项式函数。

D也不正确。

应该说，函数的定义是有问题的。根据定义，无法求出某个点的确定的值。或者说，题目描述的是一簇函数，不是一个函数。

追问

答案选D，李永乐复习全书上的，我看不懂答案里怎么就能一下得到F'(X)

先谢谢了。答案如图：