Question

在三角形ABC中，a,b,c 分别为内角A，B，C的对边，且2asinA =(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1）求A的大小

（2），sinB+sinC的取值范围

Answer 1

2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
根据正弦定理可得：
2a^2=(2b+c)b+(2c+b)c
整理可得：
a^2=b^2+bc+c^2
所以b^2+c^2-a^2=-bc
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-1/2
所以A=2π/3
（2）解：
A+B+C=π
B+C=π-A=π/3
sinB+sinC=sinB+sin(π/3-B)=sinB+√3/2cosB-1/2sinB=1/2sinB+√3/2cosB=sin(B+π/3)
因为0<π/3，所以π/3<2π/3
所以最大值为1，当且仅当B=π/6时取得

追问

第二问是问的范围不是最大值！

追答

（2）由（Ⅰ）得：
sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=√3/2cosB+1/2sinB=sin（B+60°）．
因为 0°＜B＜60°，
所以，60°＜B+60°＜120，
∴√3/2＜sin（B+60°）≤1，
故 sinB+sinC的取值范围是 （ √3/2，1]．