在平面直角坐标系xOy中,已知圆C 1 :(x-3) 2 +(y+2) 2 =4,圆C 2 :(x+m) 2 +(y+m+5) 2 =2m 2 +
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-3)2+(y+2)2=4,圆C2:(x+m)2+(y+m+5)2=2m2+8m+10(m∈R,且m≠-3).(1)设P为坐标轴...
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C 1 :(x-3) 2 +(y+2) 2 =4,圆C 2 :(x+m) 2 +(y+m+5) 2 =2m 2 +8m+10(m∈R,且m≠-3).(1)设P为坐标轴上的点,满足:过点P分别作圆C 1 与圆C 2 的一条切线,切点分别为T 1 、T 2 ,使得PT 1 =PT 2 ,试求出所有满足条件的点P的坐标;(2)若斜率为正数的直线l平分圆C 1 ,求证:直线l与圆C 2 总相交.
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(1)由题设条件,圆C 1 的圆心坐标(3,-2),半径为2,圆C 2 的圆心坐标(-m,-m-5),半径为
∵过点P分别作圆C 1 与圆C 2 的一条切线,切点分别为T 1 、T 2 ,使得PT 1 =PT 2 , ∴PC 1 2 -4=PC 2 2 -(2m 2 +8m+10) 若点P在X轴上,设P(x,0),将P(x,0)及圆心的坐标代入整理得(2m-6)x=-2m+6,故x=-1, 即P(-1,0) 若点P在Y轴上,可设P(0,y),同理解得y=-1,即P(0,-1) 故满足条件的点P的坐标为(-1,0)或(0,-1) (2)若斜率为正数的直线l平分圆C 1 ,可得此直线过定点(3,-2), 设此直线的方程为y+2=k(x-3),整理得kx-y-3k-2=0 圆C 2 的圆心到此直线的距离为d=
由于d 2 -r 2 =
=
=-m 2 -2m-1-
=-(m+1) 2 -
可得在d<r,即直线l与圆C 2 总相交 |
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