在平面直角坐标系xOy中,已知圆C 1 :(x-3) 2 +(y+2) 2 =4,圆C 2 :(x+m) 2 +(y+m+5) 2 =2m 2 +

在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-3)2+(y+2)2=4,圆C2:(x+m)2+(y+m+5)2=2m2+8m+10(m∈R,且m≠-3).(1)设P为坐标轴... 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C 1 :(x-3) 2 +(y+2) 2 =4,圆C 2 :(x+m) 2 +(y+m+5) 2 =2m 2 +8m+10(m∈R,且m≠-3).(1)设P为坐标轴上的点,满足:过点P分别作圆C 1 与圆C 2 的一条切线,切点分别为T 1 、T 2 ,使得PT 1 =PT 2 ,试求出所有满足条件的点P的坐标;(2)若斜率为正数的直线l平分圆C 1 ,求证:直线l与圆C 2 总相交. 展开
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惜容就9104
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(1)由题设条件,圆C 1 的圆心坐标(3,-2),半径为2,圆C 2 的圆心坐标(-m,-m-5),半径为
2m   2 +8m+10

∵过点P分别作圆C 1 与圆C 2 的一条切线,切点分别为T 1 、T 2 ,使得PT 1 =PT 2
∴PC 1 2 -4=PC 2 2 -(2m 2 +8m+10)
若点P在X轴上,设P(x,0),将P(x,0)及圆心的坐标代入整理得(2m-6)x=-2m+6,故x=-1,
即P(-1,0)
若点P在Y轴上,可设P(0,y),同理解得y=-1,即P(0,-1)
故满足条件的点P的坐标为(-1,0)或(0,-1)
(2)若斜率为正数的直线l平分圆C 1 ,可得此直线过定点(3,-2),
设此直线的方程为y+2=k(x-3),整理得kx-y-3k-2=0
圆C 2 的圆心到此直线的距离为d=
|-mk+m+5-3k-2|
1+ k 2
=
|(1-k)(m+3)|
1+ k 2

由于d 2 -r 2 =
(1-2k+ k 2 )(m+3)   2
1+ k 2
-(2m 2 +8m+10)
=
(1-2k+ k 2 )(m+3)   2 -(1+ k 2 )(2m   2 +8m+10) 
1+ k 2

=-m 2 -2m-1-
2k
1+ k 2
(m+3) 2
=-(m+1) 2 -
2k
1+ k 2
(m+3) 2 <0 (∵k>0)
可得在d<r,即直线l与圆C 2 总相交
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