Question

已知函数f（x）的定义域为R，若?常数c＞0，对?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），则称函数f（x）具有性质P．给

已知函数f（x）的定义域为R，若?常数c＞0，对?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），则称函数f（x）具有性质P．给定下列三个函数：①f（x）=|x|；②f（x）=sinx；③f（x）=x 3 -x．其中，具有性质P的函数的序号是（　　） A．①② B．②③ C．① D．③

Answer 1

因为c＞0，所以x+c＞x-c，所以要使?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），则函数在定义域上必须是单调递增函数． ①因为f（x）=|x|在定义域R上的不是单调增函数，所以不满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）不具有具有性质P． ②因为f（x）=sinx的最小正周期为2π，在定义域R上的不是单调增函数，所以不满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）不具有性质P． ③因为f（x）=x 3 -x，所以f′（x）=3x 2 -1，当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，f′（x）＜0时，函数f（x）是递减函数． 即在（ - 3 3 ， 3 3 ）内递减，要想满足f（x+c）＞f（x-c），只须c＞ 3 3  就可以了，不妨取c=1，． 所以，存在常数c=1，满足f（x+c）＞f（x-c）．故此函数f（x）具有性质P． 故选D．