Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinA?cosB-sinC?cosB=sinBcosC，化为：2sinA?cosB=sinC?cosB+sinBcosC，
∴2sinA?cosB=sin（B+C）．
∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA，
∴2sinA?cosB=sinA，解得：cosB=

1

2

，故B=

π

3

．
（Ⅱ）若b=2，由余弦定理得：a2+c2-2ac?cos

π

3

=4，即a²+c²-ac=4
又a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4（取=时，a=c=

3

），
故△ABC的面积S=

1

2

ac?sinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

，故△ABC的面积的最大值为

3

．