Question

求解！用同余问题！

Answer 1

作为一个奥数老师（因而可耻地匿名了哈！），这个问题太常见了，这是一个【余数相同】的问题。
所以，有必要先问清楚，你说的确定是【同余】？
请题主正确区分【同余】和【余数相同】这两个说法的区别。
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方法一：余数相同
设符合余数相同这个条件的除数为a，那么
442÷a=？……r
297÷a=？……r
210÷a=？……r

于是
(442-297)÷a没有余数，(297-210)÷a也没有余数，
化简：
145÷a没有余数，87÷a也没有余数，
也就是说，
a是145与87的公因数，
而145=29×5，87=29×3
因而145与87的最大公因数为29，
那么它们的公因数为1和29，
而这个除数大于1，
那么a=29。

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方法二：同余
设这个除数为a，
由已知，那么
442≡297≡210（mod a）
442-297=145≡0（mod a）
297-210=87≡0（mod a）
于是，
87≡145（mod a）
87≡58（mod a）
29≡58（mod a）
29≡0（mod a）
于是a|29
因为29为质数，且a>1
因而a=29
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追问

谢谢

第一种方法棒棒哒，谢谢