已知函数f（x）=lnx+kx，k∈R（1）若k=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥2+1?ex恒成立，求实数
已知函数f（x）=lnx+kx，k∈R（1）若k=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥2+1?ex恒成立，求实数k的取值范围；（3）设g（x）=xf（x）-k...
已知函数f（x）=lnx+kx，k∈R（1）若k=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥2+1?ex恒成立，求实数k的取值范围；（3）设g（x）=xf（x）-k，若对任意两个实数x1，x2满足0＜x1＜x2，总存在g′（x0）=g(x1)?g(x2)x1?x2成立，证明x0＞x1．
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（1）当k=1时，函数f（x）=lnx+
，则f′（x）=
?
=
，
当f′（x）＜0时，0＜x＜1，当f′（x）＞0时，x＞1，
则函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
（2）f（x）≥2+
恒成立，即lnx+
≥2+
恒成立，整理得k≥2x-xlnx+1-e恒成立，
设h（x）=2x-xlnx+1-e，则h′（x）=1-lnx，令h′（x）=0，得x=e，
当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
因此当x=e时，h（x）取得最大值1，因而k≥1；
（3）g（x）=xf（x）-k=xlnx，g′（x）=lnx+1，
因为对任意的x1，x2（0＜x1＜x2），总存在x0＞0，使得g′（x0）=
成立，
所以lnx0+1=
，即lnx0+1=
，
即lnx0-lnx1=
-1-lnx1=
=
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| x?1 |
| x2 |
当f′（x）＜0时，0＜x＜1，当f′（x）＞0时，x＞1，
则函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
（2）f（x）≥2+
| 1?e |
| x |
| k |
| x |
| 1?e |
| x |
设h（x）=2x-xlnx+1-e，则h′（x）=1-lnx，令h′（x）=0，得x=e，
当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
因此当x=e时，h（x）取得最大值1，因而k≥1；
（3）g（x）=xf（x）-k=xlnx，g′（x）=lnx+1，
因为对任意的x1，x2（0＜x1＜x2），总存在x0＞0，使得g′（x0）=
| g(x1)?g(x2) |
| x1?x2 |
所以lnx0+1=
| g(x1)?g(x2) |
| x1?x2 |
| x1lnx1?x2lnx2 |
| x1?x2 |
即lnx0-lnx1=
| x1lnx1?x2lnx2 |
| x1?x2 |
| x2lnx1?x2lnx2+x2?x1 |
| x1?x2 |
ln
| ||||
