Question

已知如图，Rt△ABC中，∠ACB=90゜，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，连CD交BE于F，求证：（1

已知如图，Rt△ABC中，∠ACB=90゜，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，连CD交BE于F，求证：（1）CE=DE；（2）BE⊥CD；（3）∠ABE=∠ACD．

Answer 1

证明：（1）∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°，
在Rt△BCE和Rt△BDE中，

BD＝CB EB＝EB

，
∴△BCE≌△BDE（HL），
∴CE=DE；

（2）∵△BCE≌△BDE，
∴EC=ED，BC=BD，
∴BE垂直平分CD，
∴BE⊥CD；

（3）∵BE垂直平分CD，
∴∠ECD=∠EDC，∠DFB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠EDF+∠FDB=90°，
∠FDB+∠DBF=90°，
∴∠EDC=∠DBE，
∴∠ACD=∠ABE．