已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0外一点P,从P向圆C引切线,切点为A,B、O是原点.(Ⅰ)当点P的坐标为(3,-2)

已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0外一点P,从P向圆C引切线,切点为A,B、O是原点.(Ⅰ)当点P的坐标为(3,-2)时,求过A,B,P三点的圆的方程.(Ⅱ)当∠A... 已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0外一点P,从P向圆C引切线,切点为A,B、O是原点.(Ⅰ)当点P的坐标为(3,-2)时,求过A,B,P三点的圆的方程.(Ⅱ)当∠AOP=∠PAO时,求使|AP|最小时点P的坐标. 展开
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Curtain806
2015-02-01 · TA获得超过205个赞
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(1) 已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0则
(x+1)2+(y-2)2=4 设其圆心为 Q(-1,2)得到
PQ2=(3+1)2+(2+2)2=32
∵PQ⊥AP,PQ⊥BP
∴P,Q,A,B共圆,PQ为直径,
则 PQ 的中点 R(1,0) 为过A,B,P三点的圆的圆心
所以(x-1)2+y2=8 为过A,B,P三点的圆的方程
(2)将圆的方程化为标准式:
设P(x,y)
因∠AOP=∠PAO
故|PA|=|PO|
即|PA|2=|PO|2
因PA是圆C的切线
故CA⊥PA
故|PA|2=|PC|2-r2
故|PC|2-r2=|PO|2
即(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2
化简得:
2x-4y+1=0
易知P的轨迹是一条直线l
显然该直线与圆相离
要求|AP|的最小值,即求|OP|的最小值
显然当OP⊥l时|OP|有最小值
易知此时OP的斜率是-2
故OP:y=-2x
联立,解得P坐标为(-
1
10
1
5
).
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