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(2013?赤峰)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向
(2013?赤峰)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方...
(2013?赤峰)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.(1)求证:AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
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(1)证明:∵直角△ABC中,∠C=90°-∠A=30°.
∴AB=
AC=
×60=30cm.
∵CD=4t,AE=2t,
又∵在直角△CDF中,∠C=30°,
∴DF=
CD=2t,
∴DF=AE;
解:(2)∵DF∥AB,DF=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形,
当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,
即60-4t=2t,
解得:t=10,
即当t=10时,?AEFD是菱形;
(3)当t=
时△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).理由如下:
当∠EDF=90°时,DE∥BC.
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
即60-4t=4t
解得:t=
∴t=
时,∠EDF=90°.
当∠DEF=90°时,DE⊥EF,
∵四边形AEFD是平行四边形,
∴AD∥EF,
∴DE⊥AD,
∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°,
∵∠A=60°,
∴∠DEA=30°,
∴AD=
AE,
AD=AC-CD=60-4t,AE=DF=
CD=2t,
∴60-4t=t,
解得t=12.
综上所述,当t=
时△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).
∴AB=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵CD=4t,AE=2t,
又∵在直角△CDF中,∠C=30°,
∴DF=
1 |
2 |
∴DF=AE;
解:(2)∵DF∥AB,DF=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形,
当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,
即60-4t=2t,
解得:t=10,
即当t=10时,?AEFD是菱形;
(3)当t=
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当∠EDF=90°时,DE∥BC.
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
即60-4t=4t
解得:t=
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2 |
∴t=
15 |
2 |
当∠DEF=90°时,DE⊥EF,
∵四边形AEFD是平行四边形,
∴AD∥EF,
∴DE⊥AD,
∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°,
∵∠A=60°,
∴∠DEA=30°,
∴AD=
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AD=AC-CD=60-4t,AE=DF=
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∴60-4t=t,
解得t=12.
综上所述,当t=
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