(2014?玉林)如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段M
(2014?玉林)如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.(...
(2014?玉林)如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.(1)求证:四边形BMNP是平行四边形;(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关系?请说明理由.
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3个回答
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(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠B,
在△ABM和△BCP中,
,
∴△ABM≌△BCP(SAS),
∴AM=BP,∠BAM=∠CBP,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠CBP+∠AMB=90°,
∴AM⊥BP,
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,
∴AM⊥MN,且AM=MN,
∴MN∥BP,
∴四边形BMNP是平行四边形;
(2)解:BM=MC.
理由如下:∵∠BAM+∠AMB=90°,∠AMB+∠CMQ=90°,
∴∠BAM=∠CMQ,
又∵∠ABC=∠C=90°,
∴△ABM∽△MCQ,
∴
=
,
∵△MCQ∽△AMQ,
∴△AMQ∽△ABM,
∴
=
,
∴
=
,
∴BM=MC.
在△ABM和△BCP中,
|
∴△ABM≌△BCP(SAS),
∴AM=BP,∠BAM=∠CBP,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠CBP+∠AMB=90°,
∴AM⊥BP,
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,
∴AM⊥MN,且AM=MN,
∴MN∥BP,
∴四边形BMNP是平行四边形;
(2)解:BM=MC.
理由如下:∵∠BAM+∠AMB=90°,∠AMB+∠CMQ=90°,
∴∠BAM=∠CMQ,
又∵∠ABC=∠C=90°,
∴△ABM∽△MCQ,
∴
AB |
MC |
AM |
MQ |
∵△MCQ∽△AMQ,
∴△AMQ∽△ABM,
∴
AB |
BM |
AM |
MQ |
∴
AB |
MC |
AB |
BM |
∴BM=MC.
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考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;正方形的性质.
分析: (1)根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=∠B,然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等,根据全等三角形对应边相等可得AM=BP,∠B AM=∠CBP,再求出AM⊥BP,从而得到MN∥BP,然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;
(2)根 据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ,然后求出△ABM和△MCQ相似,根据相似三角形对应边成比例可得 = ,再求出△AMQ∽△ABM,根据相似三角形对应边成比例可得 = ,从而得到 = ,即可得解.
解答: (1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠B,
在△ABM和△BCP中,
,
∴△ABM≌△BCP(SAS),
∴AM=BP,∠BAM=∠CBP,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠CBP+∠AMB=90°,
∴AM⊥BP,
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,
∴AM⊥MN,且AM=MN,
∴MN∥BP,
∴四边形BMNP是平行四边形;
( 2)解:BM=MC.
理由如下:∵∠BAM+∠AMB=90°,∠AMB+∠CMQ=90°,
∴∠BAM=∠CMQ,
又∵∠B=∠C=90°,
∴△ABM∽△MCQ,
∴ = ,
∵△MCQ∽△AMQ,
∴△AMQ∽△ABM,
∴ = ,
∴ = ,
∴BM=MC.
点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定,(1)求出两个三角形全等是解题的关键,(2)根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解题的关键.
莲山课件 原文地址:http://www.5ykj.com/shti/cusan/138296.htm
分析: (1)根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=∠B,然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等,根据全等三角形对应边相等可得AM=BP,∠B AM=∠CBP,再求出AM⊥BP,从而得到MN∥BP,然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;
(2)根 据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ,然后求出△ABM和△MCQ相似,根据相似三角形对应边成比例可得 = ,再求出△AMQ∽△ABM,根据相似三角形对应边成比例可得 = ,从而得到 = ,即可得解.
解答: (1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠B,
在△ABM和△BCP中,
,
∴△ABM≌△BCP(SAS),
∴AM=BP,∠BAM=∠CBP,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠CBP+∠AMB=90°,
∴AM⊥BP,
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,
∴AM⊥MN,且AM=MN,
∴MN∥BP,
∴四边形BMNP是平行四边形;
( 2)解:BM=MC.
理由如下:∵∠BAM+∠AMB=90°,∠AMB+∠CMQ=90°,
∴∠BAM=∠CMQ,
又∵∠B=∠C=90°,
∴△ABM∽△MCQ,
∴ = ,
∵△MCQ∽△AMQ,
∴△AMQ∽△ABM,
∴ = ,
∴ = ,
∴BM=MC.
点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定,(1)求出两个三角形全等是解题的关键,(2)根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解题的关键.
莲山课件 原文地址:http://www.5ykj.com/shti/cusan/138296.htm
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