Question

如图，已知：⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C交⊙O1于点B，直线AP交⊙O2于点D．

如图，已知：⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C交⊙O1于点B，直线AP交⊙O2于点D．（1）求证：PC平分∠BPD；（2）将“⊙O1、⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论．

Answer 1

解答：证明：（1）如图1，过点P作两圆的公切线MP，交AC于点M．
则∠BPM=∠A，∠MPC=∠C．
∴∠BPC=∠BPM+∠MPC=∠A+∠C=∠CPD，
∴PC平分∠BPD；


（2）如图2，过点P作两圆的公切线PM，
则∠MPB=∠A，∠MPC=∠BCP=∠PDC；
∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，
∴PC平分∠BPD．