Question

数列{an}定义如下：a1=1，a2=3，an+2=2an+1-an+2，n=1，2，…，则它的前n项和为n(n?1)(n+1)3+nn(n?1)(n+1

数列{an}定义如下：a1=1，a2=3，an+2=2an+1-an+2，n=1，2，…，则它的前n项和为n(n?1)(n+1)3+nn(n?1)(n+1)3+n．

Answer 1

∵a_n+2=2a_n+1-a_n+2（n=1，2，…），∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
令b_n=a_n+1-a_n，则b_n+1=b_n+2，
∴数列{b_n}是以b₁=a₂-a₁=3-1=2为首项，2为公差的等差数列．
∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
∴a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+1
=

n(n?1)

2

×2+1
=n²-n+1．
∴S_n=（1²+2²+…+n²）-（1+2+…+n）+n
=

n(n+1)(2n+1)

6

-

n(n+1)

2

+n
=

n(n?1)(n+1)

3

+n．
故答案为：

n(n?1)(n+1)

3

+n．