Question

已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项；（Ⅱ）令bn＝

已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项；（Ⅱ）令bn＝1(an+1)2?1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和Tn，证明：Tn＜34．

Answer 1

（Ⅰ）解：由题意d≠0，
∵{a_n}是等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列
∴

1+2d

1

＝

1+8d

1+2d

∴4d²-4d=0
∵d≠0，∴d=1
∵a₁=1，∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（Ⅱ）证明：bn＝

1

(an+1)2?1

＝

1

n(n+2)

＝

1

2

(

1

n

?

1

n+2

)
∴Tn＝

1

2

(1?

1

3

+

1

2

?

1

4

+…+

1

n

?

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

?

1

n+2

）＜

3

4

．