Question

已知在平面直角坐标系xoy中，圆C经过函数f（x）= 1 3 x 3 +x 2 -3x-9（x∈R）的图象与两坐标

已知在平面直角坐标系xoy中，圆C经过函数f（x）= 1 3 x 3 +x 2 -3x-9（x∈R）的图象与两坐标轴的交点，C为圆心．（1）求圆C的方程；（2）在直线l：2x+y+19=0上有一个动点P，过点P作圆C的两条切线，设切点分别为M，N，求四边形PMCN面积的最小值及取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

（1）由（x）= 1 3 x 3 +x 2 -3x-9=0，得 1 3 （x+3） 2 （x-3）=0 解之得x 1 =-3，x 2 =3． 再由x=0，得f（0）=-9 ∴函数图象与两坐标轴有三个交点分别是（3，0），（-3，0），（0，-9）---（3分） 设经过该三点圆的方程为x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0， 将三点坐标代入，解得：D=0，E=8，F=-9， 所以圆的方程是：x 2 +y 2 +8y-9=0，--------（8分） （2）由题意，得：S PMCN =5PM，因此要求面积最小值即求PM的最小值， 而PM= P C 2 - r 2 ， ∵PC最小值为点C到直线l的距离，即PC min = |-4+19| 5 =3 5 ，-------10 ∴PM min = 45-25 =2 5 ，所以四边形PMCN面积的最小值是10 5 ．-（12分）． 此时PC的方程为x-2y-8=0，与直线l联解可得得P（-6，-7）---（14分）．