Question

如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- 4 3 x+12 与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点P从点A出发沿

如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- 4 3 x+12 与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点P从点A出发沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO、OB、BA上运动的速度分别为每秒3个单位长度、4个单位长度、5个单位长度，直线l从与x轴重合的位置出发，以每秒 4 3 个单位长度的速度沿y轴向上平移，移动过程中直线l分别与直线OB、AB交于点E、F，若点P与直线l同时出发，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周回到点A时，直线l和点P同时停止运动，设运动时间为t秒，请解答下列问题：（1）求A、B两点的坐标；（2）当t为何值时，点P与点E重合？（3）当t为何值时，点P与点F重合？（4）当点P在AO-OB上，且点P、E、F不在同一直线上时，设△PEF的面积为S，请直接写出S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．

Answer 1

（1）令x=0，得y=12，令y=0，得x=9 ∴与y轴交点B的坐标为（0，12），与x轴交点A的坐标为（9，0）； （2）点P在OA上运动的时间为9÷3=3秒， 点E在OB上移动的距离为3× 4 3 =4， 点P和点E重合的时间为：3+4÷（4- 4 3 ）= 9 2 秒， 当t= 9 2 秒，点P与点E重合； （3）点P在OA、OB上运动的时间和为9÷3+12÷4=6秒， 点E在OB上移动的距离为6× 4 3 =8， AB= 12 2 +9 2 =15 ∵EF ∥ OA ∴△BEF ∽ △BOA ∴ BE BO = BF BA 即 12-8 12 = BF 15 解得BF=5， 则点F运动的速度为（15-5）÷6= 5 3 个单位/秒， ∴点P与点F重合的时间为5÷（5+ 5 3 ）+6= 27 4 秒； （4）∵EF ∥ OA ∴△BEF ∽ △BOA EF OA = BE BO 即 EF 9 = 12- 4 3 t 12 EF=9-t ①当点P在OA上运动，即0＜t≤3； S= 1 2 ×（9-t）× 4 3 t=- 2 3 t 2 +6t； ②当点P在OB上运动，即3＜t≤6且t≠ 9 2 ； S= 1 2 ×（9-t）×4（t-3）=-2t 2 +24t-54．