Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时 f(x)≤( x+1 2 ) 2 ，求f（x）的解析式．

Answer 1

∵对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时 f(x)≤( x+1 2 ) 2 ， ∴当x=1时，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，结合f（-1）=0可得 a-b+c=0 a+b+c=1 ， 解得a+c=b= 1 2 ，又∵对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立， ∴ax 2 +（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立， ∴ a＞0 △=(b-1 ) 2 -4ac≤0 ，即 a＞0 ac≥ 1 16 ， ∵a+c= 1 2 ，且a+c≥2 ac = 1 2 ， ∴当且只有当a=c= 1 4 时，不等式成立， ∴f（x）= 1 4 x 2 + 1 2 x+ 1 4