Question

已知双曲线的一条渐近线为 x+ 3 y=0 ，且与椭圆x 2 +4y 2 =64有相同的焦距，求双曲线的标准

已知双曲线的一条渐近线为 x+ 3 y=0 ，且与椭圆x 2 +4y 2 =64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

Answer 1

椭圆方程为 x 2 64 + y 2 16 =1 ，可知椭圆的焦距为 8 3 ①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （a＞0，b＞0） ∴ a 2 + b 2 =48 b a = 3 3 解得 a 2 =36 b 2 =12 ∴双曲线的标准方程为 x 2 36 - y 2 12 =1 （6分） ②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为 y 2 a 2 - x 2 b 2 =1 （a＞0，b＞0） ∴ a 2 + b 2 =48 a b = 3 3 解得 a 2 =12 b 2 =36 ∴双曲线的标准方程为 y 2 12 - x 2 36 =1 由①②可知，双曲线的标准方程为 x 2 36 - y 2 12 =1 或 y 2 12 - x 2 36 =1 （12分）