Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有 f(a)+f(b) a+b

定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有 f(a)+f(b) a+b ＞0．（1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明．（2）若 1 2 f（x）≤m 2 +2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直， 则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x 1 和x 2 ，且x 1 ＜x 2 ． 则f（x 1 ）-f（x 2 ）=f（x 1 ）+f（-x 2 ）= f (x 1 )+f( -x 2 ) x 1 +( -x 2 ) [x 1 +（-x 2 ）]． 由于 f (x 1 )+f( -x 2 ) x 1 +( -x 2 ) ＞0，且[x 1 +（-x 2 ）]＜0，∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0， 故函数f（x）在[-1，1]上是增函数． 这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直． （2）由于 1 2 f(x)≤ m 2 +2am+1 对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立， ∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m 2 +2am+1）． 由于由（1）可得，函数f（x）是[-1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2， ∴2（m 2 +2am+1）≥2，即 m 2 +2am≥0． 令关于a的一次函数g（a）=m 2 +2am，则有 g(-1) =m 2 -2m≥0 g(1)= m 2 +2m≥0 ， 解得 m≤-2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤-2，或m≥2，或 m=0}．