Question

（2014?宜宾二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D、E分别是AC、CC1的中点．

（2014?宜宾二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D、E分别是AC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求几何体BCDB1C1A1的体积．

Answer 1

（I）证明：∵BA=BC，D为AC中点，
∴BD⊥AC．
∵AA₁⊥平面ABC，BD在平面ABC内，
∴BD⊥A₁A，又AC∩AA₁=A
∴BD⊥平面ACC₁A₁，又AE?平面ACC₁A₁，
∴AE⊥BD．
在正方形ACC₁A₁中，
∵D、E分别是AC、CC₁的中点，
∴△A₁AD≌△ECD．
∴A₁D⊥AE，
又AE⊥BD，
∴AE⊥平面A₁BD．
（II）根据（I），
设几何体BCDB₁C₁A₁的体积为V，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V₁，
三棱锥B-A₁AD的体积为V₂
则 V=V₁-V₂
=

4 3

4

×2-

1

3

×

1

2

×1×2×

3

=2

3

?

3

3

＝

5 3

3

，
∴几何体BCDB₁C₁A₁的体积为

5 3

3

．