Question

在△ABC中,2sin 2 = sinA,sin(B-C)=2cosBsinC,则 =____________.

在△ABC中,2sin 2 = sinA,sin(B-C)=2cosBsinC,则 =____________.

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Answer 1

2sin 2 = sinA?1-cosA= sinA?sin = , 又0<A<π,所以 <A+ < , 所以A+ = ,所以A= . 再由余弦定理,得a 2 =b 2 +c 2 +bc　① 将sin(B-C)=2cosBsinC展开, 得sinBcosC=3cosBsinC, 所以将其角化边,得b· =3· ·c,即2b 2 -2c 2 =a 2 　② 将①代入②,得b 2 -3c 2 -bc=0, 左右两边同除以bc,得 -3× -1=0,　③ 解③得 = 或 = (舍), 所以 = = .

Answer 2

解：
令AB=c，BC=a，AC=b
2sin²(A/2)=√3sinA
1-cosA=√3sinA (等式左边逆向运用二倍角公式)
√3sinA+cosA=1
2[(√3/2)sinA+(1/2)cosA]=1
sin(A+π/6)=1/2
A为三角形内角，0<A<π，π/6<A+π/6<7π/6
因此只有A+π/6=5π/6
A=2π/3
由余弦定理得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
A=2π/3代入，得(b²+c²-a²)/(2bc)=cos(2π/3)=-√3/2
整理，得a²=b²+c²+√3bc
sin(B-C)=2cosBsinC
sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinC
sinBcosC=3cosBsinC
sin(B+C)=sinA
sinBcosC+cosBsinC=sinA
4cosBsinC=sinA
由正弦定理得cosB=sinA/(4sinC)=a/(4c)
由余弦定理得cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
a/(4c)=(a²+c²-b²)/(2ac)
整理，得a²-2b²+2c²=0
a²=b²+c²+√3bc代入，整理，得b²+√3bc-3c²=0
等式两边同除以c²
(b/c)²-√3(b/c)-3=0
b/c=[√3±√(3+12)]/2
b/c=(√15+√3)/2或b/c=-(√3-√15)/2(b、c均为正，b/c>0，舍去)
AC/AB=b/c=(√15+√3)/2
AB/AB的值为(√15+√3)/2