Question

在直角梯形ABCD中，AB CD，AB=2BC=4，CD=3，E为AB中点，过E作EF CD，垂足为F，（如图一），将此梯形沿E

在直角梯形ABCD中，AB CD，AB=2BC=4，CD=3，E为AB中点，过E作EF CD，垂足为F，（如图一），将此梯形沿EF折起，使得平面ADFE垂直于平面FCBE，（如图二）． （1）求证：BF 平面ACD；（2）求多面体ADFCBE的体积．

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Answer 1

解：（1）证明： 直角梯形ABCD中，AB CD，AB=2BC=4，CD=3， E为AB中点，EF CD，垂足为F， BCFE为正方形． 设BF和CE的交点为O，则O是正方形BCFE的中心． 再由平面ADFE垂直于平面FEBC，可得AE和DF都垂直于平面BCFE． 取AC得中点为H，则由三角形的中位线性质可得OH平行且等于AE的一半， 故OH平行且等于DF， 故四边形OHDF为矩形， 故OF平行于DH． 再由DH 平面ACD，OF不在平面ACD内， 故OF 平面ACD， 即BF 平面ACD． （2）把多面体ADFCBE分成两个棱锥：三棱锥A﹣BCE 和四棱锥C﹣AEFD， 由题意可得CF 平面AEFD，AE 平面BCFE． V A﹣BCE = S △BCEAE = ． V C﹣AEFD = S AEFDCF = ， 故多面体ADFCBE的体积为 V A﹣BCE +V C﹣AEFD = +2= ．