Question

设f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（1）当a=4时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）如果对任意x1

设f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（1）当a=4时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）如果对任意x1，x2∈[0，2]都有g（x1）-g（x2）≤M成立，求满足上述条件的最小整数M．

Answer 1

（1）当a=4时，f（x）=

4

x

+xln x，
f′（x）=-

4

x2

+ln x+1，
∴f（1）=4，f′（1）=-3，
∴y-4=-3（x-1）．
故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-7=0；
（2）对任意x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≤M成立，
等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≤M，
g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

），

x	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2
g′（x）		-	0	+
g（x）	-3	递减	极（最）小值- 85 27	递增	1

由上表可知：g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1，
[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=

112

27

，即M≥

112

27

，
∴满足条件的最小整数M=5．