Question

已知函数f（x）是定义在R的奇函数，当x≤0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x）≤9f（x+t

已知函数f（x）是定义在R的奇函数，当x≤0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，则实数t的最大值为（　　）A．-25B．-32C．-23D．2

Answer 1

若x＞0，则-x＜0，
∵当x≤0时，f（x）=x²，
∴f（-x）=x²，
∵f（x）是定义在R的奇函数，
∴f（-x）=x²=-f（x），
即f（x）=-x²，x＞0，
即f（x）=

x2， x≤0 ?x2， x＞0

，
则函数f（x）的图象如图：
则函数f（x）在R上单调递减，
∵9f（x+t）=3²f（x+t）=f（3x+3t），
∴对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，
等价为对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x）≤f（3x+3t）恒成立，
即x≥3x+3t，即x≤?

3

2

t恒成立，
∵x∈[t，t+1]，
∴t+1≤?

3

2

t恒成立，
即

5

2

t≤?1，解≥t≤?

2

5

，
则实数t的最大值为-

2

5

，
故选：A