Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（2n+1）an+

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（2n+1）an+2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n-n，∴a₁=1，
∵S_n=2a_n-n，S_n-1=2a_n-1-（n-1），n≥2，n∈N⁺，
两式相减，得a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，n∈N⁺，
∵a₁+1=2，∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=（2n+1）a_n+2n+1，
∴b_n=（2n+1）?2ⁿ，
∴T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）×2^n-1+（2n+1）?2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）?2ⁿ⁺¹，
∴①-②得：-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）?2ⁿ⁺¹
=6+2×

22(1?2n?1)

1?2

?(2n+1)?2n+1
=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）?2ⁿ⁺¹=-2-（2n-1）?2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2+（2n-1）?2ⁿ⁺¹．