Question

若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=（c1+c2x）ex，则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件

若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=（c1+c2x）ex，则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y（0）=0，y′（0）=0的解为：y=(ab2?a+bb2x)ex+1bx?ab2(ab2?a+bb2x)ex+1bx?ab2．

Answer 1

非齐次微分方程y″+ay′+by=x对应的齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为：
Y=（c₁+c₂x）e^x，
故可设非齐次微分方程y″+ay′+by=x的特解：
y^*=mx+n，
y^*′=m，y^*″=0，
代入非齐次微分方程：y″+ay′+by=x，
可得：am+b（mx+n）=x，
从而：m＝

1

b

，n＝?

a

b2

，
所以：y*＝

1

b

x?

a

b2

于是，非齐次微分方程y″+ay′+by=x的通解：
y＝Y+y*＝(c1+c2x)ex+

1

b

x?

a

b2

，
又由：y（0）=0，y′（0）=0可得：

c1? a b2 ＝0 c1+c2+ 1 b ＝0

，
所以求得：

c1＝ a b2 c2＝? a+b b2

，
所以，y＝(

a

b2

?

a+b

b2

x)ex+

1

b

x?

a

b2

．