Question

设函数f（x）对于任意x,y∈R,都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,且f（x）在区间[0,＋∞

设函数f（x）对于任意x,y∈R,都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,且f（x）在区间[0,＋∞）时是减函数，f（1）＝－2.
⑴,求f（0）
⑵,证明f（x）是奇函数。
⑶,若f（x²－1）＋f（x）＞2,求x的取值范围。

Answer 1

（1）令x=y=0，则有f（0）=2f（0）⇒f（0）=0．
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
2)由(1)知（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）任取x1＜x2，则x2-x1＞0．⇒f（x2-x1）＜0．
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴y=f（x）在R上为减函数．
f(x²-1)+f(x)=f(x²+x-1)>f(-1)=-f(1)=2

x²-1+x<-1. -1<x<0

Answer 2

(1)取x=0，y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=2f(0)
f(0)=0

(2)任取x，y。令y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)是奇函数
(3)f(x²-1)+f(x)=f(x²+x-1)
=f(x²+x)+f(-1)
=f(x²+x)-f(1)
=f(x²+x)+2＞2
所以f(x²+x)＞0
f(x)是奇函数，在[0，+∞)递增，所以在(-∞，0)上也递增。
f(0)=0
所以x²+x＞0
x(x+1)＞0
解得:x＜-1或x＞0
x∈(-∞，-1)∪(0，+∞)

追答

(1)取x=0，y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=2f(0)
f(0)=0

(2)任取x，y。令y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)是奇函数
(3)f(x²-1)+f(x)=f(x²+x-1)
=f(x²+x)+f(-1)
=f(x²+x)-f(1)
=f(x²+x)+2＞2
所以f(x²+x)＞0
f(x)是奇函数，在[0，+∞)递减，所以在(-∞，0)上也递减。
f(0)=0
所以x²+x＜0
x(x+1)＜0
解得:-1＜x＜0
x∈(-1，0)

不好意思，前面看成增函数了。。。

Answer 3

(1) 令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=2f(0)，得f(0)=0
(2) 令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，∴f(x)+f(-x)=0，∴f(x)是奇函数
(3) f(x²-1)+f(x)=f(x²-1+x)，f(-1)=-f(1)=2 ∴f(x²-1+x)>f(-1)
∵f(x)在[0,+∞)上是减函数，且f(x)为奇函数，∴f(x)在R上也是减函数
∴x²-1+x<-1，得x(x+1)<0，∴解得-1<x<0

Answer 4

（1）f（0）=f（0）+f（0） 故f（0）=0
（2）令y=-x
由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）

有f（x）＋f（-x）=f（x＋（-x））＝f（0）=0
即f（-x）=-f（x）
（3）由f（x²－1）＋f（x）＞2和f（x＋y）＝f（x）＋f（y）

有f（x²+x－1）＞2

又f（x）在区间[0,＋∞）时是减函数且f（x）是奇函数
故f（x）在R上单调递减

由f（1）＝－2得f（-1）＝2

即f（x²+x－1）＞2=f（-1）
有x²+x－1<-1
解得-1<x<0