Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O、I分别为△ABC的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI的值为（　　）A．2B．3

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O、I分别为△ABC的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI的值为（　　）A．2B．3C．5D．1

Answer 1

解：如图，作△ABC的内切圆⊙I，过点I作ID⊥BC于D，IE⊥AC于E，IN⊥AB于N．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10．
∵点O为△ABC的外心，
∴AO为外接圆半径，AO=

1

2

AB=5．
设⊙I的半径为r，则ID=IE=r，
又∵∠IDC=∠IEC=∠C=90°，
∴四边形IECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=6-r，BD=BN=8-r，
∵AB=10，
∴8-r+6-r=10，
解得r=2，
∴IN=r=2，AN=6-r=4．
在Rt△OIN中，∵∠INO=90°，ON=AO-AN=5-4=1，
∴OI=

IN2+ON2

=

5

．
故选C．