Question

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=xlnx-x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=xlnx-x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，yM），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，yN）．则yNyM的范围是（　　）A．（-∞，-1]∪[3，+∞）B．（-∞，-3]∪[1，+∞）C．[3，+∞）D．（-∞，-3]

Answer 1

设P（a，alna-a），则
∵f（x）=xlnx-x，
∴f′（x）=lnx，
∴曲线在点P处的切线l的方程为y-alna+a=lna（x-a），即y=-a+xlna．
令x=0，可得y_M=-a，
过点P作l的垂线的方程为y-alna+a=-

1

lna

（x-a），
令x=0，可得y_N=alna-a+

a

lna

，
∴

yN

yM

=-lna+1-

1

lna

，
∵lna+

1

lna

≥2或lna+

1

lna

≤-2，
∴-（lna+

1

lna

）≤-2或-（lna+

1

lna

）≥2，
∴

yN

yM

=-lna+1-

1

lna

的范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故选A．