Question

如图1，已知直线y=-2x+4与两坐标轴分别交于点A、B，点C为线段OA上一动点，连接BC，作BC的中垂线分别交OB

如图1，已知直线y=-2x+4与两坐标轴分别交于点A、B，点C为线段OA上一动点，连接BC，作BC的中垂线分别交OB、AB交于点D、E．（l）当点C与点O重合时，DE=______；（2）当CE∥OB时，证明此时四边形BDCE为菱形；（3）在点C的运动过程中，直接写出OD的取值范围．

Answer 1

∵直线AB的解析式为y=-2x+4，
∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），即可得OB=4，OA=2，
（1）当点C与点O重合时如图所示，

∵DE垂直平分BC（BO），
∴DE是△BOA的中位线，
∴DE=

1

2

OA=1；

（2）当CE∥OB时，如图所示：

∵DE为BC的中垂线，
∴BD=CD，EB=EC，
∴∠DBC=∠DCB，∠EBC=∠ECB，
∴∠DCE=∠DBE，
∵CE∥OB，
∴∠CEA=∠DBE，
∴∠CEA=∠DCE，
∴BE∥DC，
∴四边形BDCE为平行四边形，
又∵BD=CD，
∴四边形BDCE为菱形．

（3）当点C与点O重合时，OD取得最大值，此时OD=

1

2

OB=2；
当点C与点A重合时，OD取得最小值，如图所示：

在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=2

5

，
∵DE垂直平分BC（BA），
∴BE=

1

2

BA=

5

，
易证△BDE∽△BAO，
∴

BE

BO

=

BD

AB

，即

5

4

=

BD

2 5

，
解得：BD=

5

2

，
则OD=OB-BD=4-