Question

n阶矩阵A有n个不同的特征值，是A与对角矩阵相似的(充分非必要条件)为什么，谢谢

Answer 1

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量，
当n阶矩阵A有n个不同的特征值时，A就一定有n个线性无关的特征向量，因为矩阵的属于不同特征值的特征向量一定线性无关。
但这只是A与对角矩阵相似的充分非必要条件，因为当n阶矩阵A有相同的特征值时，也能够有n个线性无关的特征向量，例如
A=1 2 2
2 1 2
2 2 1
其特征值为5,-1,-1,它有两个特征值-1，而A为实对称矩阵，显然可以对角化。