Question

已知函数 f(x)= e x + a e x (a∈R) （其中e是自然对数的底数）（1）若f（x）是奇函数

已知函数 f(x)= e x + a e x (a∈R) （其中e是自然对数的底数）（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；（3）设函数 ?(x)= 1 2 ( x 2 -3x+3)[f(x)+f′(x)] ，求证：对于任意的t＞-2，总存在x 0 ∈（-2，t），满足 ?′( x 0 ) e x 0 = 2 3 (t-1 ) 2 ，并确定这样的x 0 的个数．

Answer 1

（1）∵函数f（x）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0，∴1+a=0，解得a=-1． ∴f（x）=e x -e -x ，经验证函数f（x）是R上的奇函数． 故a=-1适合题意． （2）a=0时，y=e x 在区间[0，1]上单调递增，适合题意； 当a≠0时，令t=e x ，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，e]．且t=e x 单调递增，故 y=|t+ a t | 在t∈[1，e]时递增． 当a＞0时，函数y= t+ a t 在t∈[1，e]时单调递增，得 a ≤1 ，∴0＜a≤1． 当a＜0时， y=t+ a t 在t∈[1，e]时单调递增恒成立，故?t∈[1，e]， t+ a t ≥0 ． ∴-1≤a＜0． 综上可知：-1≤a≤1． （3）∵f（x）+f ′ （x）= e x + a e x + e x - a e x =2e x ，∴φ（x）=（x 2 -3x+3）e x ，∴ φ   ′ (x) φ(x) =x 2 -x． 要证明：对于任意的t＞-2，总存在x 0 ∈（-2，t），满足 ?′( x 0 ) e x 0 = 2 3 (t-1 ) 2 ． 等价于证明：对任意的t＞-2，方程 x 2 -x= 2 3 (t-1 ) 2 在区间（-2，t）内有实数解． 令g（x）= x 2 -x- 2 3 (t-1 ) 2 ， 则g（-2）=6- 2 3 (t-1 ) 2 =- 2 3 (t+2)(t-4) ，g（t）= 1 3 (t-1)(t+2) ． 所以①当t＞4，或-2＜t＜1时，g（-2）g（t）＜0， ∴g（x）=0在（-2，t）内有解，且只有一解． ②当1＜t＜4时，g（-2）＞0，且g（t）＞0，但g（0）= - 2 3 (t-1 ) 2 ＜0， ∴g（x）=0在（-2，t）内有解，且由两解． ③当t=1时，有且只有一个解x=0； 当t=4时，有且只有一个解x=3． 综上所述：对于任意的t＞-2，总存在x 0 ∈（-2，t），满足 ?′( x 0 ) e x 0 = 2 3 (t-1 ) 2 ． 且当t≥4或-2＜≤1时，有唯一的x 0 适合题意； 当1＜t＜4时，有两个不同的x 0 适合题意．