Question

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF= 1 2 AD =a，G是EF的

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF= 1 2 AD =a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为______．

Answer 1

∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB， ∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF． ∵AG，GB?面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG， 又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点， ∴AG=BG= 2 a，AB=2a，∴AB 2 =AG 2 +BG 2 ，∴AG⊥BG， ∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG?面AGC，故平面AGC⊥平面BGC． 在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角． 在Rt△CBG中，BH= BC?BG CG = 2 3 3 a ，BG= 2 a，∴sin∠BGH= BH BG = 6 3 ． 故答案为： 6 3 ．