Question

（2014?吉州区一模）如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一点O，使OB=OC，以O为圆

（2014?吉州区一模）如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一点O，使OB=OC，以O为圆心，OB为半径作图，过C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD．（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；（3）已知AC=6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径．

Answer 1

（1）AC与⊙O相切．理由如下：
∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠ABC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）四边形BOCD为菱形．理由如下：
连结OD，
∵CD∥AB，
∴∠AOC=∠OCD，
∵∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°，
∴∠OCD=60°，
而OC=OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD=OB=OC，
∴四边形OBDC为平行四边形，
而OB=OC，
∴四边形BOCD为菱形；

（3）在Rt△AOC中，AC=6，∠A=30°，
∴OC=

3

3

AC=2

3

，
∴弧BC的长=

120?π?2 3

180

=

4 3

3

π，
设圆锥的底面圆半径为r，
∴2πr=

4 3

3

π，
∴r=

2 3

3

．