已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2，置椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．（l）求
已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2，置椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．（l）求椭圆的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆...
已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2，置椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．（l）求椭圆的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为116，求k的取值范围．
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（1）设短轴的两个三等分点分别为M，N，F为焦点，则△MNF为正三角形，
∴|OF|=
|MN|，
∵椭圆E：
+
＝1(a＞b＞0)的焦距为2，
∴1=
?
，解得b=
，
∴a=
=2，
∴椭圆的方程为
+
＝1；
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．点M（x1，y1），N（x2，y2）
直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
此方程有两个不等实根，于是3+4k2≠0，且△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0．
整理得-m2+3+4k2＞0． ①
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足x0=
，y0=kx0+m=
．
从而线段MN的垂直平分线方程为y-
=-
∴|OF|=
| ||
| 2 |
∵椭圆E：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴1=
| ||
| 2 |
| 2b |
| 3 |
| 3 |
∴a=
| b2+c2 |
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．点M（x1，y1），N（x2，y2）
直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
此方程有两个不等实根，于是3+4k2≠0，且△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0．
整理得-m2+3+4k2＞0． ①
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足x0=
| ?4km |
| 4k2+3 |
| 3m |
| 4k2+3 |
从而线段MN的垂直平分线方程为y-
| 3m |
| 4k2+3 |
