Question

已知函数f（x）=lnx+1x?1．（1）求函数的定义域； （2）讨论f（x）的单调性

已知函数f（x）=lnx+1x?1．（1）求函数的定义域； （2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（1）由

x+1

x?1

＞0，得（x+1）（x-1）＞0，
解得：x＜-1或x＞1．
∴函数f（x）=ln

x+1

x?1

的定义域为{x|x＜-1或x＞1}；
（2）设任意x₁＞x₂＞1，
f(x1)?f(x2)＝ln

x1+1

x1?1

?ln

x2+1

x2?1

=ln(

x1+1

x1?1

?

x2?1

x2+1

)=ln

(x1x2?1)+x2?x1

(x1x2?1)+x1?x2

．
∵x₁＞x₂＞1，
∴x₁x₂-1+x₁-x₂＞x₁x₂-1+x₂-x₁＞0，
∴0＜

(x1x2?1)+x2?x1

(x1x2?1)+x1?x2

＜1，
则f(x1)?f(x2)＝ln

(x1x2?1)+x2?x1

(x1x2?1)+x1?x2

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）=ln

x+1

x?1

在（1，+∞）上为减函数；
又f（-x）=ln

?x+1

?x?1

＝ln

x?1

x+1

＝?ln

x+1

x?1

=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．
则f（x）在（-∞，-1）上为减函数．
综上，函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上为减函数．