Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面

如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．

Answer 1

解法1：如图，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．（2分）
因为∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED，（4分）
所以

S△CDE

S△EAB

＝(

CE

AB

)2＝

1

4

， 

CE

CD

＝

AB

AE

＝2．（（6分））
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，
所以

S△CEF

S△CDF

＝

CE

CD

＝2．（8分）
所以S△CEF＝

2

3

S△CDE＝

2

3

×

1

4

S△ABE＝

2

3

×

1

4

×

1

2

S△ABC＝

1

24

．（10分）


解法2：如图，作FH⊥CE于H，设FH=h．（2分）因为∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠FEH，
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．（4分）
因为

EH

FH

＝

AB

AE

. 即EH＝2h，所以HC＝

1

2

?2h．
又因为HC=FH，所以h＝

1

2

?2h ， h＝

1

6

，（8分）
所以S△CEF＝

1

2

EC×FH＝

1

2

×

1

2

×

1

6

＝

1

24

．（10分）