Question

已知函数f（x）=x3+ax?2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l

已知函数f（x）=x3+ax?2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为1010．若x=23时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）设g（x）=x3+k+8lnx，若关于x的方程f（x）=g（x）在[1，e]内有且只有一个实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f'（x）=3x²+2ax+b．
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．…①
当x=

2

3

时，y=f（x）有极值，则f′(

2

3

)=0，可得4a+3b+4=0…②
由①、②解得a=2，b=-4．设切线l的方程为y=3x+m
由原点到切线l的距离为

10

10

，则

|m|

32+1

=

10

10

．
解得m=±1
∵切线l不过第四象限，
∴m=1，
∴切线方程为y=3x+1，
由于l切点的横坐标为x=1，
∴f（1）=4，
∴1+a+b+c=4，
∴c=5
∴a=2，b=-4，c=5
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-4x+5，
方程f（x）=g（x）可化为：2x²-4x-81nx+5=k．
设h（x）=2x²-4x-8lnx+5（x＞0），
则h′(x)=4x-

8

x

-4．
令h^′（x）=0，得x=2（负值舍去）．

x	[1，2）	2	（2，e]
h'（x）	-	O	+
h（x）	↘	极小值	↗

∴h（x）在x=2处取得极小值h（2）=5-8ln2．
又h（1）=3，h（e）=2e²-4e-3，且h（e）＜h（1）．
∴h（x）的大致图象如右图：
∴由图知，当k=5-8ln2或2e²-4e-3＜k≤3时，方程f（x）=g（x）在[1，e]内有且只有一个实数根．