如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角BD折起，得到三棱锥A-BCD．（1）求证
如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角BD折起，得到三棱锥A-BCD．（1）求证：平面AOC⊥平面BCD；（2）若三棱锥A-BCD...
如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角BD折起，得到三棱锥A-BCD．（1）求证：平面AOC⊥平面BCD；（2）若三棱锥A-BCD的体积为63，求AC的长．
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解答：
（本小题满分14分）
解：（1）证明：因为ABCD是正方形，
所以BD⊥AO，BD⊥CO．…（1分）
在折叠后的△ABD和△BCD中，
仍有BD⊥AO，BD⊥CO．…（2分）
因为AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．…（3分）
因为BD?平面BCD，
所以平面AOC⊥平面BCD．…（4分）
（2）解：设三棱锥A-BCD的高为h，
由于三棱锥A-BCD的体积为
，
所以
S△BCDh＝
．…（5分）
因为S△BCD＝
BC×CD＝
×2×2＝2，所以h＝
．…（6分）
以下分两种情形求AC的长：
①当∠AOC为钝角时，如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H，
由（1）知BD⊥平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且CO∩BD=O，所以AH⊥平面BCD．
所以AH为三棱锥A-BCD的高，即AH＝
．…（7分）
在Rt△AOH中，因为AO＝
，
所以OH＝
=
＝
．…（8分）
在Rt△ACH中，因为CO＝
，
则CH＝CO+OH＝
+
＝
．…（9分）
所以AC＝
＝
＝
（本小题满分14分）解：（1）证明：因为ABCD是正方形，
所以BD⊥AO，BD⊥CO．…（1分）
在折叠后的△ABD和△BCD中，
仍有BD⊥AO，BD⊥CO．…（2分）
因为AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．…（3分）
因为BD?平面BCD，
所以平面AOC⊥平面BCD．…（4分）
（2）解：设三棱锥A-BCD的高为h，
由于三棱锥A-BCD的体积为
| ||
| 3 |
所以
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
因为S△BCD＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
以下分两种情形求AC的长：
①当∠AOC为钝角时，如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H，
由（1）知BD⊥平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且CO∩BD=O，所以AH⊥平面BCD．
所以AH为三棱锥A-BCD的高，即AH＝
| ||
| 2 |
在Rt△AOH中，因为AO＝
| 2 |
所以OH＝
| AO2?AH2 |
(
|
| ||
| 2 |
在Rt△ACH中，因为CO＝
| 2 |
则CH＝CO+OH＝
| 2 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
所以AC＝
| AH2+CH2 |
(
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