Question

如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，DA⊥AB，DO及DO的延长线与⊙O分别相交于点E、F，EB与CF相交于点

如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，DA⊥AB，DO及DO的延长线与⊙O分别相交于点E、F，EB与CF相交于点G． （1）求证：DA=DC；（2）⊙O的半径为3，DC=4，求CG的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接OC， ∵DC是⊙O切线，∴OC⊥DC。 ∵OA⊥DA，∴∠DAO=∠DCO=90°。 在Rt△DAO和Rt△DCO中， ∵DO=DO,OA=OC, ∴Rt△DAO≌Rt△DCO（HL）。 ∴DA=DC. （2）连接BF、CE、AC，设AC与OD相交于点M， 由切线长定理得：DC=DA=4，DO⊥AC， ∴DO平分AC。 在Rt△DAO中，AO=3，AD=4， 由勾股定理得：DO=5。 ∵由三角形面积公式得： DA?AO= DO?AM， 则AM= 。 同理CM=AM= 。∴AC= 。 ∵AB是直径，∴∠ACB=90°。 由勾股定理得： 。 ∵由圆周角定理得∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，∴△BGC∽△EGF。 ∴ 。 在Rt△OMC中，CM= ，OC=3，由勾股定理得：OM= 。 在Rt△EMC中，CM= ，ME=OE﹣OM=3﹣ = ，由勾股定理得：CE= 。 在Rt△CEF中，EF=6，CE= ，由勾股定理得：CF= 。 ∵CF=CG+GF， ，∴CG= CF= × = 。

试题分析：（1）连接OC，∠DAO=∠DCO=90°，根据HL证Rt△DAO≌Rt△DCO，根据全等三角形的性质推出即可。 （2）连接BF、CE、AC，由切线长定理求出DC=DA=4，求出DO=5，CM、AM的长，由勾股定理求出BC长，根据△BGC∽△EGF求出 ，则CG= CF；利用勾股定理求出CF的长，则CG的长度可求得。