Question

已知椭圆 的右焦点为 ,离心率 , 是椭圆上的动点．（1）求椭圆标准方程；（2）若直线 与 的斜率乘积

已知椭圆 的右焦点为 ,离心率 , 是椭圆上的动点．（1）求椭圆标准方程；（2）若直线 与 的斜率乘积 ,动点 满足 ,（其中实数 为常数）．问是否存在两个定点 ,使得 ？若存在,求 的坐标及 的值；若不存在,说明理由．

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Answer 1

(1) (2)存在,

试题分析： (1)根据题意,可知 ,可得 ,从而得到椭圆方程． (2)假设存在，因为这两点是由点决定的，而点离不开点 ,所以设出点 , 三点,根据 , 寻找三点坐标之间的关系．可得出结论 点是椭圆 上的点,根据 ,可知 ,所以得到 值．进而可确定是否存在两点 ． （1）有题设可知：  又 ∴椭圆标准方程为 （2）假设存在这样的两点，则设 ， 由 得 , 因为点 在椭圆 上,所以  , 故 由题设条件知 ,因此 ,所以 ． 即  所以 点是椭圆 上的点， 设该椭圆的左、右焦点为 ,则由椭圆的定义 ． 又因   因此两焦点的坐标为  ．