Question

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AC=BC=AA 1 =2， ∠ACB=90°，D、E分别为AC、AA 1 的中点.点F为棱

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AC=BC=AA 1 =2， ∠ACB=90°，D、E分别为AC、AA 1 的中点.点F为棱AB上的点.(Ⅰ)当点F为AB的中点时.(1)求证：EF⊥AC 1 ；(2)求点B 1 到平面DEF的距离.(Ⅱ)若二面角A-DF-E的大小为 的值.

Answer 1

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AC=BC=AA 1 =2， ∠ACB=90°，D、E分别为AC、AA 1 的中点.点F为棱AB上的点. (Ⅰ)当点F为AB的中点时. (1)求证：EF⊥AC 1 ； (2)求点B 1 到平面DEF的距离. (Ⅱ)若二面角A-DF-E的大小为 的值.

(1)证明见解析，(2) C 1 O=  ，(3)

(1)(1)DF∥BC,BC⊥AC,∴DF⊥AC ∵平面ACC 1 A 1 ⊥平面ABC，∴DF⊥平面ACC 1 A 1 ∴DF⊥AC 1 ∵ACC 1 A 1 是正方形 ∴AC 1 ⊥DE ∴AC 1 ⊥面DEF∴AC 1 ⊥EF，即EF⊥AC 1 (2)∵B 1 C 1 ∥BC，BC∥DF，∴B 1 C 1 ……∥平面DEF 点在B 1 到平面DEF的距离等于点C 1 到平面DEF的距离 ∴DF⊥平面ACC 1 A 1 ∴平面DEF⊥平面ACC 1 A 1 ∵AC 1 ⊥DE∴AC 1 ⊥平面DEF 设AC 1 ∩DE=O，则C 1 O就是点C 1 到平面DEF的距离 由题设计算，得C 1 O=   (3)当点F为AB的中点即 =1时，DF∥BC,∴DF⊥AC,∵AA1⊥面ABC，∴ED⊥DF，∠EDA即为二面角A-DF-E的平面角，由AE=AD，因此∠EDA=