如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC⊥AD；
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正...
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.
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| （1）见解析 （2）  （3）  |
| 解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0),
 ,P（0,0,2）. （1）证明：易得  ， 于是 ,所以 (2) , 设平面PCD的法向量 ，则  ,即 .不防设 ，可得 .可取平面PAC的法向量 于是 从而 .所以二面角A-PC-D的正弦值为 .（3）设点E的坐标为（0,0，h），其中  ，由此得 .由 ，故 所以，  ，解得 ，即 .解法二：（1）证明：由  ，可得 ，又由 , ,故 .又 ,所以 . (2)如图，作  于点H，连接DH.由 , ,可得 .因此  ,从而 为二面角A-PC-D的平面角.在 中， ,由此得 由（1）知 ,故在 中， 因此  所以二面角 的正弦值为 .（3）如图，因为  ，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故 或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故 .在
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