Question

（2013?贵港）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作AC，点E在AB上，且与A、B两点均不

（2013?贵港）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作AC，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．（1）求证：EF是AC所在⊙D的切线；（2）当MA=34时，求MF的长；（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．

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Answer 1

（1）证明：过点D作DG⊥EF于G，
∵ME=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∵EF⊥ME，
∴∠DEM+∠GED=90°，
∵∠DAB=90°，
∴∠MDE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠GED，
∵在△ADE和△GDE中，

∠AED＝∠GED ∠DAE＝∠DGE＝90° DE＝DE

，
∴△ADE≌△GDE（AAS），
∴AD=GD，
∵

AC

的半径为DC，即AD的长度，
∴EF是

AC

所在⊙D的切线；

（2）MA=

3

4

时，ME=MD=2-

3

4

=

5

4

，
在Rt△AME中，AE=

ME2?MA2

=

( 5 4 )2?( 3 4 )2

=1，
∴BE=AB-AE=2-1=1，
∵EF⊥ME，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵∠B=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠DAB=∠B=90°，
∴△AME∽△BEF，
∴

MA

BE

=

ME

EF

，
即

3 4

1

=

5 4

EF

，