Question

已知函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数．（1）求证：对任意x1、x2∈[-1，1]，有[f（x1

已知函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数．（1）求证：对任意x1、x2∈[-1，1]，有[f（x1）+f（x2）]?（x1+x2）≤0；（2）若f（2-a2）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵x₂∈[-1，1]，∴-x₂∈[-1，1]，
设x₁≤-x₂，则∵函数y=f（x）是减函数，
∴f（x₁）≥f（-x₂），
∵函数y=f（x）是奇函数，
∴f（x₁）≥-f（x₂），
∴f（x₁）+f（x₂）≥0，
∵x₁+x₂≤0，
∴[f（x₁）+f（x₂）]?（x₁+x₂）≤0；
（2）解：由题意f（0）=0，则
∵f（2-a²）＞0，
∴-1≤2-a²＜0，
∴-

3

≤a＜

2

或

2

＜a≤

3

．