如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,(1)求证:FH∥平面EDB...
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,(1)求证:FH∥平面EDB;(2)求证:AC⊥平面EDB;(3)求四面体B-DEF的体积.
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(1)证明:设AC与BD交于G,则G为AC的中点.连接EG,GH,
由于H为BC的中点,故GH
AB,又EF
AB,
∴四边形EFGH为平行四边形,
∴FH∥平面EDB;
(2)证明:由四边形ABCD是正方形,有AB⊥BC,又EF∥AB,
∴EF⊥BC,而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC,
∴EF⊥FH,∴AB⊥FH,
又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,
∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC,又FH∥EG,∴AC⊥EG,
又AC⊥BD,EG∩BD=G
∴AC⊥平面EDB;
(3)解:∵EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面CDEF,
∴BF为四面体B-DEF的高,
又BC=AB=2,∴BF=FC=
,S=
EF?FC=
×1×
四面体B-DEF的体积.VB-DEF=
×
×1×
×
=
.
由于H为BC的中点,故GH
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∴四边形EFGH为平行四边形,
∴FH∥平面EDB;
(2)证明:由四边形ABCD是正方形,有AB⊥BC,又EF∥AB,
∴EF⊥BC,而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC,
∴EF⊥FH,∴AB⊥FH,
又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,
∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC,又FH∥EG,∴AC⊥EG,
又AC⊥BD,EG∩BD=G
∴AC⊥平面EDB;
(3)解:∵EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面CDEF,
∴BF为四面体B-DEF的高,
又BC=AB=2,∴BF=FC=
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四面体B-DEF的体积.VB-DEF=
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