Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，-π2＜φ＜π2），其部分图象如图所示．（Ⅰ）

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，-π2＜φ＜π2），其部分图象如图所示．（Ⅰ） 求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）已知横坐标分别为-1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，记∠MNP=θ，求cos2θ的值．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）由图可知，A=1，…（1分）
且f（x）的最小正周期T=2[3-（-1）]=8，
∴ω=

2π

T

=

π

4

…（3分）
又f（1）=sin（

π

4

+φ）=1，且-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴?

π

4

＜φ+

π

4

＜

3π

4

，
∴φ=

π

4

．
∴f（x）=sin

π

4

（x+1）．…（6分）
（Ⅱ）∵f（-1）=sin

π

4

（-1+1）=sin0=0．f（1）=sin

π

4

（1+1）=sin

π

2

=1．
f（5）=sin

π

4

（5+1）=sin

3π

2

=-1，
∴M（-1，0），N（1，1），P（5，-1），…（9分）
∴|MN|=

(1+1)2+(1?0)2

=

5

，|MP|=

(5+1)2+(?1?0)2

=

37

，|PN|=

(5?1)2+(?1?1)2

=

20

，
∴cos∠MNP＝

MN2+PN2?MP2

2MN?PN

=

5+20?37

2 5 × 20

＝?

3

5

，
即cosθ＝?

3

5

…（11分），
于是cos2θ＝2cos2θ?1＝2×(?

3

5

)2?1＝?

7

25

．…（12分）