Question

已知关于x的一元二次方程mx2-（2m+1）x+2=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数

已知关于x的一元二次方程mx2-（2m+1）x+2=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；（3）若此方程的两个实数根分别为x1、x2，求代数式m（x13+x23）-（2m+1）（x12+x22）+2（x1+x2）+5的值．

Answer 1

解答：（1）证明：m≠0，
∵△=（2m+1）²-4m×2
=（2m-1）²≥0，
∴此方程总有两个实数根；

（2）解：方程的两个实数根为x=

2m+1± (2m?1)2

2m

，
∴x₁=2，x₂=

1

m

，
∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数，
∴m=±1；

（3）解：∵方程的两个实数根分别为x₁、x₂，
∴mx₁²-（2m+1）x₁+2=0，mx₂²-（2m+1）x₂+2=0．
∴mx₁³-（2m+1）x₁²+2x₁=0，mx₂³-（2m+1）x₂²+2x₂=0．
∴原式=mx₁³-（2m+1）x₁²+2x₁+mx₂³-（2m+1）x₂²+2x₂+5
=0+0+5
=5．