Question

已知圆C：x2+y2-2x-4y-3=0，直线l：y=x+b．（1）若直线l与圆C相切，求实数b的值（2）是否存在直线l与圆C

已知圆C：x2+y2-2x-4y-3=0，直线l：y=x+b．（1）若直线l与圆C相切，求实数b的值（2）是否存在直线l与圆C交于A、B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）；如果存在，求出直线l的方程，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）圆的方程化为（x-1）²+（y-2）²=8
所以圆心为（1，2），半径为2

2

∴d＝

|1?2+b|

2

＝2

2

∴b=5或-3
（2）假设存在．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵OA⊥OB，
∴

y1

x1

?

y2

x2

＝?1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁=x₁+b，y₂=x₂+b，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
将y=x+b代入圆方程得：2x²+2（b-3）x+b²-4b-3=0
∴x1+x2＝3?b，x1x2＝

b2?4b?3

2

∴b²-4b-3+b（3-b）+b²=0，b²-b-3=0，b＝

1± 13

2

所以所求直线方程为y＝x+

1± 13

2